Stirling 公式的几种经典估计

Desvl at 
Stirling 公式对于$\Gamma$函数,我们有一个经典的极限式(证明请见 ProofWiki)。\lim_{n\to\infty}\frac{\Gamma(x+1)}{(x/e)^x\sqrt{2\pi{x}}}=1.利用这个式子,我们能立刻计算出一些比较难算的极限。注意到这个公式如果写成自然数的形式,有\lim_{n \to\infty}\frac{n!}{(n/e)^n\sqrt{2\pi{n}}}=1 所以我们能立刻计算出这个极限:\begin{aligned}\lim_{n \to\infty}\sqrt\frac{n!}{n^n} &= \lim_{n \to\infty}\……