从一个”难题”入手设${f_n}$是一个定义在$[0，1]$上的连续函数列，且$0\leq f_n\leq 1$. $n\to\infty$时，对任意$x\in[0，1]$有$f_n(x)\to{0}$. 求证 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_n(x)dx=0 \]在 Riemann 积分下这个命题的证明确实很头疼。虽然说有$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$，但是这里并不是一致收敛，所以不能直接将极限号和积分号交换。但是也没有别的信息，只能从连续性入手。Riemann 积分在讨论函数列的时候往往需要考虑是否一致收敛，这往往……